TMM4100 Materialteknikk
Svikt¶
Svikt (Eng: failure) innen mekanisk design kan være så mye rart:
- Funksjonell svikt betyr at konstruksjonen, produktet eller duppedingsen ikke fungerer som tiltenkt, men ingenting trenger nødvendigvis å være eller bli ødelagt. Dette kan for eksempel være en mekanisme med dårlig logikk, dårlig klaring på bevegelige deler, osv.
- Store deformasjoner kan være et kriterie for svikt, på tross av at greia ser like hel og fin ut (ingen permanente endringer) når lasten er fjernet. Her er problemet typisk at konstruksjonens stivhet er for lav i forhold til lasten som virker på den.
- Knekning (buckling) er et resultat av elastisk instabilitet der komponentens stivhet, vanligvis en bøyestivhet, er for lav i forhold til lasten som virker.
- Plastisk deformasjon: regnes vanligvis som svikt, men dette er nødvendigvis ikke en kritisk eller katastrofal situasjon. Som vi har sett på tidligere: mange materialer kan bli utsatt for mye plastisk deformasjon men fortsatt ha lastbærende kapasitet, og for mange metaller: styrken øker med plastisk deformasjon...
- Brudd (Eng: fracture) er ofte ensbetydende med game over for produktet, og dette er ett av hovedtemaene
- Utmatting (Eng: fatigue) i dette emnet er ensbetydende med en sprekk som vokser på grunn av en dynamisk last
- Siging (Eng: creep) kalles også statisk utmatting, som betyr at svikt skjer over tid når materialet er utsatt for en konstant last.
Failure -> feil -> error
Fracture -> brudd -> break
Fatigue -> utmattelse -> exhaustion
Creep -> kryp -> creep, Sige -> say -> si
Spenningskonsentrasjon er et sentralt aspekt ved svikt i form av både plastisk deformasjon, brudd og utmatting, så la oss konstruere et enkelt eksempel:
I en konstruksjon er det en plate med lengde 150 mm, bredde 50 mm og tykkelse 5 mm. Platen er laget av en aluminiumslegering med E-modul lik 70 GPa, Poissons forhold lik 0.33 og flytstyrke på 300 MPa.
Platen blir utsatt for en strekklast i lengderetning, $F_x$ = 25 kN, og konstruktøren mener dette skal gå fint, med god margin:
L, b, t = 150, 50, 5 # [mm]
F = 25000 # [N]
sig_x = F/(b*t) # [MPa]
sig_yield = 300 # [MPa]
messageToTheBoss = 'Med Fx = {} N blir det jo bare {} MPa i tverrsnittet, mens flytestyrken er på hele {} MPa'.format(
F, sig_x, sig_yield)
print(messageToTheBoss)
Konstruktøren har kommet frem til at det absolutt må være et hull med diameter lik 10 mm i platen. Her skal det vistnok trekkes kabler gjennom.
Konstruktøren, med internjett-kurs i mekanikk, mener fortsatt at dette går helt fint, med god margin, siden tverrsnittet kun har blitt redusert med 25%:
D = 10 # [mm], diameter på hull
b = b-D # [mm], effektiv bredde
sig_x = F/(b*t) # [MPa]
messageToTheBoss = 'Helt ok (!) med hull på {} mm diameter. Gjennomsnittlig spenning blir bare {} MPa.'.format(D, sig_x)
print(messageToTheBoss)
Det konstruktøren har glemt, eller aldri vist, er følgende enkle huskeregel:
Det blir alltid spenningskonsentrasjoner (lokale spenninger som er høyere enn gjennomsnittet) når den strukturelle stivheten er diskontinuerlig.
Hullet representerer selvsagt en disskontinuitet, og da må det litt mer avansert beregning til. Vi hopper over analytiske løsninger og går rett til en Finite Element Analysis av problemet (mest på grunn av fine farger og illustrasjoner :-)
Resultatet viser at spenningen $\sigma_x$ (S11 i figuren) nå faktisk er over flytestyrken, med en faktor grovt regnet lik 3 i forhold til en plate uten hull. (For en plate der b >> D og L >> D, får vi eksakt en spenninskonsentrasjonsfaktor på 3)
Hva vil skje med platen nå da?
- Dersom materialet har liten eller ingen duktilitet, vil det sannsynligvis oppstå et sprøbrudd som initieres der vi har høye spenninger, noe vi skal se nermere på i bruddmekanikk
- Dersom materialet har høy duktilitet, kan lokal plastisk deformasjon i områder med høyest spenning sørge for last-omfordeling og fortsatt rikelig med lastbærende kapasitet i tverrsnittet, demonstrasjon av dette følger:
Vi kan sette opp en relativt enkel modell for den plastiske oppførselen til aluminiumslegeringen som følger:
Plastisk flyt vil skje over flytestyrken (300 MPa) og fører til lineær (og isotrop) fastning opp til en spenning på 350 MPa og ved en tøyning lik 0.02. Deretter vil materialet flyte ideal-plastisk (uten fastning). En skisse av denne spenning-tøyningskurven blir som følger:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot([0,300/70000, 0.02, 0.1], [0, 300, 325, 325], color='red')
plt.xlim(0,)
plt.ylim(0,)
plt.grid()
plt.show()
Legger denne materialoppførselen til i FEA-modellen, og dobler lasten for å være sikker sikker på å få betydelig med plastisk deformasjon. Vi forventer nå å få en spenning på rundt 200 MPa i områder som har stor distanse fra hullet, noe resultatene viser:
PEEQ står for ekvivalent plastisk tøyning og kan sammenholdes med mises-spenning (S, MISES) i forhold til spenning-tøyningskurven som definerer materialets oppførsel. Vi ser altså at det kun oppstår flyt i et begrenset volum, og siden mises-spenningen ikke er større enn 316 MPa, vil materialet i plastisk sone forsatt fastne ved videre plastisk deformasjon.
Nå er ikke vår venn konstruktøren helt ferdig med design-fasen, for en ny brilliant ide har dukket opp: Hullet skal være firkantet og orientert som vist i følgende figur:
Argumentet for denne løsningen er 100% kosmetisk: det ser jo mye stiligere ut liksom.
Analysen viser imidlertid at dette var en dårlig ide:
Skarpe hjørner skaper singulære problem, der spenningen potensielt går mot uendelig. Denne FEA-modellen vil ikke kunne fange opp singulære problem, men vi ser at løsningen gir skikkelig høy spenning i hjørnet...!!
I Bruddmekanikk ser vi nettop så slike singulære problem som sprekker representerer.