TMM4100 Materialteknikk
Gummielastisitet¶
Det er rimelig vanskelig å forestille seg et moderne samfunn uten gummi:
- Alternative løsninger med metall eller keramiske material for dekk til bil og sykkel høres lite behaglig ut ...
- En prosessindustri uten gummipakninger vil føre til utrolig mye søl og annet trøbbel ...
- Maskiner uten gummidempere, gummislanger, etc ...
- Bursdagsparty uten ballonger blir ikke helt det samme ...
- Stropper og strikk og alle de greiene for et utall av formål ...
Gummi som en teknologisk viktig materialgruppe med unike mekaniske egenskaper, blir ofte ikke tatt skikkelig på alvor i introduksjon til materialteknikk (som også er tilfelle for Callister), så derfor en helt egen side om akkurat elastiske egenskaper til gummi.
Ideell elastomer (Neo-Hookean)¶
Vi skal se på den enkleste hyperelastiske materialmodellen for gummi. Modellen kobler arbeid $W$ utført på et volum material til deformasjoner $\lambda_i$:
\begin{equation} W = \frac{VG}{2}\big[ \lambda_x^2 + \lambda_y^2 + \lambda_z^2 -3\big] \tag{1} \end{equation}hvor $G$ er en materialkonstant (tilsvarer skjærmodul for lineærelastisk material), $V$ er volumet og $\lambda_i$ er forlengelsesratioer definert som
\begin{equation} \lambda_x = \frac{X}{X_0}, \quad \lambda_y = \frac{Y}{Y_0}, \quad \lambda_z = \frac{Z}{Z_0} \tag{2} \end{equation}
Ligning(1) blir gjerne kalt en tøyningsenergifunksjon, og er ofte presentert uten volumet $V$. I så fall blir det jo en funksjon for tøyningsenergitettheten. Vi skal imidlertid dra med oss volumet en stund til siden det gjør noen enkle utledninger enda enklere :-)
Inkompressibilitet¶
Om ikke gummi var sært nok fra før: Gummi har svært lav stivhet når den er utsatt for en aksiell last eller skjærlast. Samtidig har gummi høy volumstivhet (tilsvarende som for andre polymerer eller organiske væsker). Denne kombinasjonen gjør av vi ofte kan bruke en antagelse om inkompressibilitet med svært godt resultat.
Altså: bevaring av volum betyr at $V = V_0 \Rightarrow XYZ = X_0Y_0Z_0 $
eller
$$\frac{XYZ}{X_0Y_0Z_0}=1$$som fra (2) gir
\begin{equation} \lambda_x\lambda_y\lambda_z=1 \tag{3} \end{equation}Eksempel: Et kloss av gummi med $G$ = 0.5 MPa har dimensjoner: $X_0$ = 100 mm, $Y_0$ = 200 mm og $Z_0$ = 50 mm. Klossen blir strukket til dobbel lengde i x-retning. I y-retning strekkes klossen med 25 mm. Hva er tøyningsenergien i gummiklossen?
X0, Y0, Z0 = 100, 200, 50 # Dimensjoner [mm]
G = 0.5 # Skjærmodul [MPa]
V = X0*Y0*Z0 # Volumet
lx = 2 # 'strukket til dobbel lengde'
ly = (X0 + 25)/X0 # 'strekkes med 25 mm'
lz = 1/(lx * ly) # fra linging (3), bevaring av volum
W = (V*G/2)*( lx**2 + ly**2 + lz**2 - 3 ) # ligning (1)
print('Tøyningsenergi W = {:.1f} N mm = {:.1f} J'.format(W, W/1000))
Med kun last i en retning ($F_x$ i figuren under), har vi bare en uavhengig deformasjon siden $\lambda_y = \lambda_z$ og disse vil dermed være gitt av $\lambda_x$ i henhold til (3):
\begin{equation} \lambda_y = \lambda_z = \frac{1}{\sqrt{\lambda_x}} \tag{4} \end{equation}
Arbeidet blir nå
\begin{equation} W = \frac{VG}{2}\big[ \lambda_x^2 + \frac{2}{\lambda_x} -3\big] \tag{5} \end{equation}Kraften $F_x$ finnes som den deriverte av arbeidet $W$ med hensyn på $X$:
\begin{equation} F_x = \frac{dW}{dX} = \frac{d \lambda_x}{dX}\frac{d\lambda_x}{dX} = \frac{d \lambda_x}{dX}\frac{1}{X_0} = \frac{VG}{2}\big[ 2\lambda_x - \frac{2}{\lambda_x^2}\big]\frac{1}{X_0} = \frac{VG}{X_0}\big[ \lambda_x - \frac{1}{\lambda_x^2}\big] \tag{6} \end{equation}Siden volumet $V$ er $X_0Y_0Z_0$:
\begin{equation} F_x = Y_0 Z_0 G\big[ \lambda_x - \frac{1}{\lambda_x^2}\big] \tag{7} \end{equation}Eksempel: Design og engineering av sprettert er sannsynligvis ikke noe du blir satt til i industrien, så da er det greit å få muligheten i løpet av studiet! Oppdraget er å lage en sprettert som kan skyte en stålkule på 20 gram minst 50 m mot skyene ved hjelp av vanlig gummistrikk (G = 0.5 MPa). Se bort fra luftmotstand, og anta at gummistrikken kan forlenges inntil 5 ganger.
G = 0.5E6 # Skjærmodul [Pa]
m = 20E-3 # masse til kule [kg]
h = 50 # høyde for ballistisk eksperiment.. [m]
g = 9.8 # gravitasjon på moder jord [m/s2]
lx = 5 # 'kan forlenges 5 ganger'
Up = m*g*h # potensiell energi på toppen av banen, og vi må ha samme eller mer energi lagret i strikken, ligning (5)
# Prøver oss med en ubelastet lengde X0 = 0.2 m slik at maks strekk blir 1.0 m, og finner nødvendig tverrsnitt X0*Y0:
X0 = 0.2
Y0 = 0.003 # ren gjetting et par ganger gjør jobben
Z0 = Y0
W = (X0*Y0*Z0*G/2)*(lx**2 + 2/lx -3) # ligning (5)
Fx = Y0*Z0*G*(lx-1/(lx**2)) # ligning (7)
print('Nødvendig energi for å nå 50 mm høyde er {} J mens spretterten har kapasitet på {} J.'.format(Up,W))
print('Trekk-kraft ved 5x forlengelse er {} N'.format(Fx))
Spenning - tøyning¶
Nominell spenning er kraft per. udeformert areal. Det aktuelle arealet med kun en last $F_x$ er $Y_0 Z_0$ slik at
\begin{equation} \sigma_x = \frac{F_x}{Y_0Z_0} = \frac{VG}{X_0 Y_0 Z_0}\big[ \lambda_x - \frac{1}{\lambda_x^2}\big] \tag{8} \end{equation}Siden volumet $V$ er $X_0Y_0Z_0$:
\begin{equation} \sigma_x = G\big[ \lambda_x - \frac{1}{\lambda_x^2}\big] \tag{9} \end{equation}Sammenhengen mellom tøyning og forlengelsesratio er:
$$\varepsilon_x = \frac{X-X_0}{X_0} = \lambda_x -1 \Rightarrow$$\begin{equation} \lambda_x = \varepsilon_x +1 \tag{10} \end{equation}Visualisert:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
G = 0.5
epsx = np.linspace(0,3)
lx = epsx + 1
sigx = G*(lx - 1/(lx**2))
fig,(ax1,ax2) = plt.subplots(ncols=2,nrows=1,figsize=(10,4))
ax1.plot(lx,sigx)
ax1.set_xlabel('$\lambda$')
ax1.set_ylabel('$\sigma$')
ax1.grid()
ax1.set_xlim(0,)
ax1.set_ylim(0,)
ax2.plot(epsx,sigx)
ax2.set_xlabel('$\epsilon$')
ax2.set_ylabel('$\sigma$')
ax2.grid()
ax2.set_xlim(0,)
ax2.set_ylim(0,)
plt.show()
Sann spenning er kraft pr. deformert areal (prøv å utled selv...) med resultat:
\begin{equation} \sigma_{x,sann} = G \big[ \lambda_x^2 - \frac{1}{\lambda_x}\big] \tag{11} \end{equation}G = 0.5
epsx = np.linspace(0,3)
lx = epsx + 1
sigx = G*(lx**2 - 1/lx)
plt.subplots(figsize=(5,3))
plt.plot(epsx,sigx)
plt.xlabel('$\epsilon$')
plt.ylabel('$\sigma_{sann}$')
plt.grid()
plt.xlim(0,)
plt.ylim(0,)
plt.show()
Plan spenning (last langs to akser)¶
Med et lasttilfelle der både $F_x$ og $F_y$ er ulik null, er $\lambda_x$ og $\lambda_y$ ukjent, men $\lambda_z$ er en avhengig variable på grunn av (3):
\begin{equation} \lambda_z = \frac{1}{\lambda_x \lambda_y} \tag{12} \end{equation}
Ligning (1) blir dermed
\begin{equation} W = \frac{VG}{2}\big[ \lambda_x^2 + \lambda_y^2 + \lambda_x^{-2}\lambda_y^{-2} -3\big] \tag{13} \end{equation}... og dermed er det bare å sette i gang med partsiell derivering for å finne kreftene for en gitt deformasjon:
\begin{equation} F_x = \frac{\partial W}{\partial x} = \frac{\partial W}{\partial \lambda_x} \frac{\partial \lambda_x}{\partial x} = VG \big[\lambda_x - \lambda_x^{-3}\lambda_y^{-2}\big] \frac{1}{X_0} \tag{14} \end{equation}\begin{equation} F_y = \frac{\partial W}{\partial y} = \frac{\partial W}{\partial \lambda_y} \frac{\partial \lambda_y}{\partial y} = VG \big[\lambda_y - \lambda_x^{-2}\lambda_y^{-3}\big] \frac{1}{Y_0} \tag{15} \end{equation}Eksempel: Gjennom et utall av bursdagsparties, har du stilt det samme evige spørsmålet: Hvorfor er det så mye vanskeliger å blåse opp en ballong i begynnelsen enn når ballongen har begynt å få litt diameter? Som teknologistudent vet du jo nå at dette betyr at det kreves mer trykk i begynnelsen av prosessen enn trykket som endelig er i en fult oppblåst ballong. Men hvorfor?
Dessuten, du ble jo lurt en gang eller to av dette forsøket der to ballonger er koblet sammen, den ene ballongen mer oppblåst enn den andre, og lufta gikk feil vei liksom...
Ingen grunn til desperasjon; her i TMM4100 får du svaret med solid matte og fysikk:
- Anta at ballongen er et tynnvegget kuleskall, og da vet du sammenhengen mellom trykk, spenning, radius og veggtykkelse
- Fra (14) og (15) finner du spenning i ballongveggen (like store i 2 retninger)
- Se på et lite volumelement, og du vil innse at forholdet mellom radius og initiell radius faktisk er en forlengelsesratio (!)
- Så er det bare å kjøre i gang der du skal finne trykket som funksjon av radiusen til ballongen.
Ligning og grafikk følger:
R0 = 20 # Diameter, før oppblåsing
t0 = 0.2 # Veggtykkelse, før oppblåsing
G = 0.3 # Skjærmodul, typisk ballong-kvalitet :-)
R = np.linspace(R0,80) # passe intervall å studere for radius (20-80 tilsvarer lambda = 4)
P = 2*R0*t0*G*( (R/R0) - (R0/R)**5)*(1/R**2) # trykket (MPa)
P = P*10 # konverterer til bar / atmosfærisk
plt.plot(R,P)
plt.xlim(R0,)
plt.ylim(0,)
plt.xlabel('Ballongradius [mm]')
plt.ylabel('Trykk [bar]')
plt.grid()
plt.show()
