TMM4100 Materialteknikk
RSS (Resolved Shear Stress)¶
Hva er greia: Plastisk deformasjon i metaller = dislokasjonsbevegelse langs glidesystem i den krystallinske strukturen. Utløst skjærspenning kan beregnes for alle glidesystem i enkeltkrystaller, og dersom den utløste skjærspenningen er større enn kritisk verdi (CRRS), vil det oppstå glidning, eller dislokasjonsbevegelse, og dermed plastisk deformasjon.
Utløst skjærspenning $\tau_R$ er
\begin{equation} \tau_R = \sigma \text{cos}(\phi) \text{cos}(\lambda) \end{equation}og er svaret på følgende spørsmål: Hva er skjærspenningen langs en retning i et plan når krystallen er utsatt for en gitt normalspenning i en gitt retning?
Kort variant av (ufullstendig) utledning basert på rotasjon av spenninger:
Koordinatsystemet $1$-$2$-$3$ er rotert med en vinkel $\phi$ om $z$-aksen. Dersom vi kun har en spenning $\sigma_y$, blir spenningene i det roterte koordinatsystemet:
$$\sigma_1 = \text{sin}^2(\phi) \sigma_y$$$$\sigma_2 = \text{cos}^2(\phi)\sigma_y$$$$\tau_{12} = \text{cos}(\phi)\text{sin}(\phi) \sigma_y$$
Planet 1-3 er nå det aktuelle glideplanet, som har normalen $\mathbf{n}$, og glideretningen som ligger i dette planet er $\mathbf{s}$.
Glidning (altså dislokasjonsbevegelse) drives av skjærspenning, slik at normalspenningen som står normalt til planet ($\sigma_2$) og normalspenningen som ligger i planet ($\sigma_1$) er begge irrelevante for denne mekanismen.
$\tau_{12}$ inneholder faktoren $\text{sin}(\phi)$ som kan skrives som
$$\text{sin}(\phi)=\text{sin}(90-\lambda) = \text{cos}(\lambda) $$og vi ser dermed at $\tau_R = \tau_{12} = \sigma \text{cos}(\phi) \text{cos}(\lambda)$.
Altså:
- $\phi$ er vinkelen mellom spenningens retning og normalen $\mathbf{n}$ til planet
- $\lambda$ er vinkelen mellom spenningens retning og glideretningen $\mathbf{s}$
Dette vil også være tilfelle når $\mathbf{s}$, $\mathbf{n}$ og $\boldsymbol{\sigma}$ ikke ligger i samme plan:
Vinklene finner vi enkelt siden vektor-regning er friskt i minnet...:
$$ \text{cos}(\phi) = \frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}}{|\boldsymbol{\sigma}||\mathbf{n}|}, \quad \text{cos}(\lambda) = \frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{s}}{|\boldsymbol{\sigma}||\mathbf{s}|} $$Eksempler:
Finn utløst skjærspenning i en kubisk struktur langs planet $[011]$ i retning $[\overline1 1 \overline1]$ når det virker en spenning på 100 MPa i retning $[010]$:
import numpy as np
sig = [ 0, 1, 0]
n = [ 0, 1, 1]
s = [-1, 1,-1]
cosphi = (np.dot(sig,n))/(np.linalg.norm(sig) * np.linalg.norm(n))
coslam = (np.dot(sig,s))/(np.linalg.norm(sig) * np.linalg.norm(s))
tau_resolved = 100*cosphi*coslam
phi = np.degrees(np.arccos(cosphi))
lam = np.degrees(np.arccos(coslam))
print('Utløst skjærspenning er {:.2f} MPa, der \
phi = {:.1f} grader og lambda = {:.1f} grader.'.format(tau_resolved, phi, lam))
Finn utløst skjærspenning i en kubisk struktur langs planet $[111]$ i retning $[\overline1 0 1]$ når det virker en spenning på 100 MPa i retning $[010]$:
sig = [ 0, 1, 0]
n = [ 1, 1, 1]
s = [-1, 0, 1]
cosphi = (np.dot(sig,n))/(np.linalg.norm(sig) * np.linalg.norm(n))
coslam = (np.dot(sig,s))/(np.linalg.norm(sig) * np.linalg.norm(s))
tau_resolved = 100*cosphi*coslam
phi = np.degrees(np.arccos(cosphi))
lam = np.degrees(np.arccos(coslam))
print('Utløst skjærspenning er {:.2f} MPa, der \
phi = {:.1f} grader og lambda = {:.1f} grader.'.format(tau_resolved, phi, lam))
Kommentar til det siste eksempelet: spenningen står normalt til glideretningen, og dermed blir det ikke noe skjærspenning som kan drive glidning langs denne retningen.
Se også case-studiet RSS for en tilfeldig lastretning.