TMM4100 Materialteknikk
Geometriske aspekt, volumfraksjon, masse og tetthet¶
Geometriske aspekt ved kompositter inkluderer størrelse, form og romlig arrangement av de ulike bestandelene i komposittmaterialer. Kompositter som har kontinuerlige, ensrettet og jevnt fordelte fibre fungerer svært forskjellig i forhold til tilfeldige fiberarrangementer.
En ensrettet (UD) fiberkompositt består av fibre som alle er orientert i én retning. Dette arrangementet muliggjør høyest mulig fiberinnhold, og er derfor ofte den foretrukne løsningen for avanserte høyytelseskompositter. Fiberfordelingen er i praksis ikke helt jevn eller homogen som illustrert til venstre i figuren under.
Høyest mulig fibervolumfraksjon oppnås med en tettpakket heksagonal konfigurasjon illustrert til høyre i figuren over.
Volumfraksjonen $V_i$ av en bestandel $i$ i et komposittmaterial er definert som volumet $v_i$ av denne bestanddelen dividert på totalt volum $v$:
\begin{equation} V_i = \frac{v_i}{v} \tag{1} \end{equation}For en heksagonal konfigurasjon av ensrettet fiber i en matrise av en annen fase, blir fibervolumfraksjonen $V_f$ lik arealfraksjonen av tverrsnittet:
\begin{equation} V_f = \frac{A_f}{A} = \frac{\pi d^2 }{ 4 a^2\text{sin}(60)} = \frac{\pi }{ 2 \sqrt{3}}\bigg(\frac{d}{a}\bigg)^2 \tag{2} \end{equation}der maks verdi finnes når $d=a$ (altså ved maksimal tettpakking):
from math import pi
print(pi/(2*(3)**0.5)) # ligning (2) for d = a
Tetthet $\rho$ er definert som masse $m$ per volum $v$:
\begin{equation} \rho = \frac{m}{v} \tag{3} \end{equation}som vi kan anvende for å bestemme fibervolumfraksjon uttrykt ved masse og tetthet til fiber og matrise:
\begin{equation} V_f = \frac{v_f}{v_f + v_m} = \frac{\frac{m_f}{\rho_f}}{\frac{m_f}{\rho_f} + \frac{m_m}{\rho_m}} = \frac{m_f \cdot \rho_m}{m_f \cdot \rho_m+m_m \cdot \rho_f} \tag{4} \end{equation}Eksempel: 3 kg fiber med tetthet lik 2500 kg/m3 og 4 kg matrise med tetthet 1250 kg/m3 blandes. Hva blir fibervolumfraksjonen?
m_f = 3 # kg
m_m = 4 # kg
p_f = 2500 # kg/m3
p_m = 1250 # kg/m3
Vf = (m_f*p_m)/(m_f*p_m + m_m*p_f) # ligning (4)
print('Vf = {:.3f}'.format(Vf))
Eksempel: Sammenheng mellom fibervolumfraksjon og massefraksjon av fiber for forrige eksempel:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
m_f = np.linspace(0,1) # masse fiber: 0...1
m_m = 1 - m_f # masse matrise: 1...0
Vf = (m_f*p_m)/(m_f*p_m + m_m*p_f) # ligning (4)
plt.subplots(figsize = (5,3))
plt.plot(m_f, Vf)
plt.xlabel('Massefraksjon fiber')
plt.ylabel('Fibervolumfraksjon')
plt.xlim(0,1)
plt.ylim(0,1)
plt.show()
Tettheten til et komposittmaterial som består av fiber og matrise kan finnes på følgende vis:
Total mass er
$$ m = m_f + m_m $$hvor masser kan substitueres fra (3) slik at
$$ v \rho = v_f \rho_f + v_m \rho_m$$Dividerer så alle ledd med totalt volum $v$ og får
\begin{equation} \rho = V_f \rho_f + (1-V_f) \rho_f \tag{5} \end{equation}