TMM4100 Materialteknikk

Introduksjon Geometriske aspekt Mikromekaniske modeller Laminat Lettvekt design

Mikromekaniske modeller¶

Hensikten til en mikromekanisk modell er å estimere egenskaper til komposittmaterialer basert på geometrisk konfigurasjon og egenskaper til bestanddelene til komposittmaterialer. Dette er altså et tilfelle av materialhomogenisering

For elastisk modul $E_L$ i fiberretning til ensrettet fiberkompositt gjør vi følgende antagelser:

komposittmaterialet er en paralellkobling av fiber og matrise
tøyning i fiberretning er lik for fiber og matrise: $\varepsilon_{Lf} = \varepsilon_{Lm} = \varepsilon_{L}$
det er ingen kobling mellom tøyinger i ulike retninger (alle Poissons forhold er null)

og ender opp med resultatet (se full utledning på siden materialhomogenisering )

\begin{equation} E_L = V_f E_f + (1-V_f) E_m \tag{1} \end{equation}

Modellen i (1) gir en svært presis predikasjon for all vanlige kombinasjoner av fiber og polymermatrise, og i mange tilfeller er nøyaktigheten bedre enn usikkerheter ved eksperimentelle målinger. Når komposittmaterialet består av bestanddeler der $E_f >> E_m$ og relativ høy fibervolumfraksjon, kan vi neglisjere matrisen og fortsatt få et greit estimat med

$$E_L \approx V_f E_f$$

E-modul i fiberretning er altså fiberdominert.

For elastisk modul $E_T$ på tvers av fiberretning til ensrettet fiberkompositt er antagelsene

komposittmaterialet er en seriekobling av fiber og matrise
spenning på tvers av fiber er lik for fiber og matrise $\sigma_{Tf} = \sigma_{Tm} = \sigma_{T}$
det er ingen kobling mellom tøyinger i ulike retninger (alle Poissons forhold er null)

og ender opp med resultatet (se full utledning på siden materialhomogenisering )

\begin{equation} \frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{1-V_f}{E_m} \tag{2} \end{equation}

Eksempel: Glassfiber i en typisk epoxymatrise:

Ef =  70    # E-modul til typisk glassfiber [GPa]
Em =   4    # E-modul til typisk epoxy [GPa]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Vf = np.linspace(0,0.75)        # Høyere Vf enn 0.75 er ikke realistisk i praksis
E_L = Vf*Ef + (1-Vf)*Em         # ligning (1)
E_L_negmat = Vf*Ef              # ligning (1) men neglisjerer matrisen
E_T = 1/(Vf/Ef + (1-Vf)/Em)     # ligning (2)

plt.subplots(figsize = (5,3))
plt.plot(Vf,E_L,'-', label='$E_L$',c='blue')
plt.plot(Vf,E_L_negmat,'--', label = '$E_L$ (matrisen neglisjert)', c='blue')
plt.plot(Vf,E_T,'-', label='$E_T$',c='green')
plt.legend()
plt.xlim(0, 0.75)
plt.ylim(0,)
plt.xlabel('$V_f$')
plt.ylabel('Elastisk modul')
plt.show()

Modellen for E-modul på tvers av fiber (2) er en langt mindre presis modell enn (1). Både antagelse om ren seriekobling og antagelse om neglisjering av tverrkontraksjon er heller tvilsomme, noe som fører til at (2) underestimerer verdien til $E_T$.

En viss modifikasjon kan innføres ved å anta at matrisen ikke får mulighet for tverrkontraksjon i fiberretning, noe som fører til at den effektive verdien av E-modulen til matrisen blir

\begin{equation} E_m' = \frac{E_m}{1-\nu_m^2} \tag{3} \end{equation}

hvor $v_m$ er Poissons forhold for matrisen

Elastisitetsmodulen på tvers er nå

\begin{equation} \frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{1-V_f}{E_m'} \tag{4} \end{equation}

Ligning (3) er et resultat av Hookes lov i 2 dimensjoner og blir gjennomgått dersom relevant for årets pensum eller oppgaver...

Eksempel med data fra forrige eksempel:

vm = 0.35     # Typisk Poissons forhold for epoxy

Em_mod = Em/(1-vm**2)                # ligning (3)
E_T_mod = 1/(Vf/Ef + (1-Vf)/Em_mod)  # ligning (4)

plt.subplots(figsize = (5,3))
plt.plot(Vf,E_T,'-', label='$E_T$',c='green')
plt.plot(Vf,E_T_mod, '--',label='$E_T$ (modifisert)', c='green')
plt.legend()
plt.xlim(0, 0.75)
plt.ylim(0,)
plt.xlabel('$V_f$')
plt.ylabel('Elastisk modul')
plt.show()

Disclaimer:This site is designed for educational purposes only. There are most likely errors, mistakes, typos, and poorly crafted statements that are not detected yet... www.ntnu.edu/employees/nils.p.vedvik