TMM4100 Materialteknikk
Hookes lov¶
Hookes lov beskriver en lineær sammenheng mellom kraft og deformasjon. Sammenhengen mellom kraften $F$ som virker på en fjær og forlengelsen $x$ av fjæra er ett spesialtilfelle av Hookes lov:
\begin{equation} F=k x \tag{1} \end{equation}Parameteren $k$ representerer stivheten (N/m) til komponenten.
For materialer bruker vi heller spenning som representasjon av kraft (spenning kan betraktes som kraftintensitet siden det er kraft per. arela) og deformasjonen uttrykkes ved tøyning, som altså representerer en deformasjonsgradient. En analog ligning til (1) blir da:
\begin{equation} \sigma = E\varepsilon \tag{2} \end{equation}der $E$ representerer en stivhet som kalles Youngs modul (eller E-modul) med enhet N/m2.
Når vi har spenninger på kryss og tvers...
...må vi passe på:
Anta at vi har en spenning $\sigma_x \ne 0$ som fører til en tøyning
$$\varepsilon_x = \frac{1}{E} \sigma_x$$På grunn av Poissons effekt, får vi også en tøyning i y-retning og z-retning:
$$\varepsilon_y = -\nu \varepsilon_x, \quad \varepsilon_z = -\nu \varepsilon_x$$der $\nu$ er Poissons forhold (materialparameter) for et isotropt materiale.
Om vi nå legger til en spenning $\sigma_y \ne 0$, vil denne bidra til tøyning i y-retning ved
$$\varepsilon_y = \frac{1}{E} \sigma_y$$i tillegg til tøyninger i x og z retninger:
$$\varepsilon_x = -\nu \varepsilon_y, \quad \varepsilon_z = -\nu \varepsilon_x$$Om vi nå superponerer effektene av både $\sigma_x \ne 0$ og $\sigma_y \ne 0$ ender vi opp med
$$\varepsilon_x = \frac{1}{E} \sigma_x -\nu \varepsilon_y = \frac{1}{E} \sigma_x - \frac{\nu}{E} \sigma_y$$og
$$\varepsilon_y = -\nu \varepsilon_x +\frac{1}{E} \sigma_y = -\frac{\nu}{E}\sigma_x + \frac{1}{E} \sigma_y$$Enden på visa, med alle spenninger ulik null er følgende sett av ligninger for et isotropt materiale:
\begin{equation} \begin{bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \varepsilon_z \\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{xz} \\ \gamma_{yz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/E & -\nu/E & -\nu/E & 0 & 0 & 0 \\ -\nu/E & 1/E & -\nu/E & 0 & 0 & 0 \\ -\nu/E & -\nu/E & 1/E & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/G & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/G & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{xy} \\ \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \end{bmatrix} \tag{3} \end{equation}Merk at det er bare 2 uavhengige elastiske parameter i ligningene ettersom:
\begin{equation} G = \frac{E}{2(1+\nu)} \tag{4} \end{equation}Ligning (3) kan vi skrive som
\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon}=\mathbf{S}\boldsymbol{\sigma} \tag{5} \end{equation}der den inverse relasjonen er
\begin{equation}\boldsymbol{\sigma} =\mathbf{C}\boldsymbol{\varepsilon} \tag{6} \end{equation}hvor $\mathbf{C}$ er materialets stivhetsmatrise gitt ved $\mathbf{C} = \mathbf{S}^{-1}$
En funksjon for $\mathbf{S}$ -matrisen:
import numpy as np
def Smatrise(E,v):
G = E/(2*(1+v))
return np.array(
[[ 1/E, -v/E, -v/E, 0, 0, 0],
[-v/E, 1/E, -v/E, 0, 0, 0],
[-v/E, -v/E, 1/E, 0, 0, 0],
[ 0, 0, 0, 1/G, 0, 0],
[ 0, 0, 0, 0, 1/G, 0],
[ 0, 0, 0, 0, 0, 1/G]],
float)
Eksempel-1: Finn alle tøyninger når en kloss av stål ($E$ = 200 000 MPa og $\nu$ = 0.3) utsettes for en spenning $\sigma_x$ = 1000 MPa.
spenning = [1000, 0, 0, 0, 0, 0]
S=Smatrise(E=200000, v=0.3)
toyning= S @ spenning
print(toyning)
Eksempel-2: Finn alle spenninger når en kloss av stål ($E$ = 200 000 MPa og $\nu$ = 0.3) utsettes for en tøyning $\varepsilon_x$ = 0.001 MPa der alle andre tøyninger er null.
toyning = [0.001, 0, 0, 0, 0, 0]
S=Smatrise(E=200000, v=0.3)
spenning = np.linalg.solve(S,toyning) # Løser uttrykket i ligning (4) med hensyn på spenning
print(np.round(spenning,2))
Eksempel-3: Vis numerisk at et material med Poissons forhold $\nu$ = 0.5 er inkompressiblet under isostatisk trykk.
P=10000000 # Et skikkel heftig trykk!
spenning = [-P, -P, -P, 0, 0, 0] # Alle normalspenninger er lik negativ verdi av trykk
S=Smatrise(E=1, v=0.5) # Et material med svært lav stivhet (E=1 MPa) og Poissons forhold v = 0.5
toyning= S @ spenning
print(toyning) # skal bli bare nuller..