TMM4100 Materialteknikk

Introduksjon Spenning Tøyning Hookes lov Plastisitet Energi Materialvariabilitet

Tøyning¶

Tøyning er en representasjon av deformasjon. For små tøyninger bruker vi ingeniørtøyninger på følgende form i et koordinatsystem $x,y$ og $z$

\begin{equation} \begin{aligned} &\varepsilon_x=\frac{du}{dx} && \varepsilon_y=\frac{dv}{dy} && \varepsilon_z=\frac{dw}{dz} \\ &\gamma_{xy}=\frac{du}{dy}+\frac{dv}{dx} && \gamma_{xz}=\frac{du}{dz}+\frac{dw}{dx} && \gamma_{yz}=\frac{dv}{dz}+\frac{dw}{dy} \end{aligned} \tag{1} \end{equation}

hvor $u,v$ og $w$ er forskyvinger i $x,y$ og $z$ retning.

Eksempel: Tøyning i $x$-$y$-planet som illustrert i figuren under:

$$\varepsilon_x = \frac{du}{dx} = \frac{\Delta X}{X_0} = \frac{X-X_0}{X_0}$$

$$\varepsilon_y = \frac{dv}{dy} = \frac{\Delta Y}{Y_0} = \frac{Y-Y_0}{Y_0}$$

$$\gamma_{xy}=\frac{du}{dy}+\frac{dv}{dx} = \frac{a}{Y_0}+\frac{0}{X_0} = \frac{a}{b}$$

Merk at for en liten vinkel er

$$\frac{a}{b}=\text{tan}(\gamma_{xy}) \approx \gamma_{xy}$$

For store tøyninger er det hensiktsmessig å bruke logaritmisk tøyning, eller sann tøyning, noe vi kun kommer til å bruke i en dimensjon:

Fra ligning (1) med kun normaltøyning i x-retning kan vi utrykke ingeniørtøyning som

$$\varepsilon_x=\frac{du}{dx} \Rightarrow \varepsilon = \frac{X-X_0}{X_0} = \frac{L-L_0}{L_0} = \frac{dL}{L_0}$$

Logaritmisk (eller sann) tøyning av tilsvarende tilstand er

$$\varepsilon_{sann} = \text{ln}\bigg(\frac{L}{L_0}\bigg)$$

Sammenhengen mellom sann tøyning og ingeniørtøyning er:

$$\varepsilon_{sann} = \text{ln}\bigg(\frac{L}{L_0}\bigg) = \text{ln}\bigg(\frac{L_0+dL}{L_0}\bigg) = \text{ln}(1+\varepsilon)$$

For små tøyninger er det minimal forskjell mellom ingeniørtøyning og sann tøyning:

from math import log
print('Ingeniørtøyning     Sann tøyning')
for ing_toyning in [0.0001,0.001,0.01, 0.1, 1]:
    print('   {:.5f}            {:.5f}'.format(ing_toyning, log(ing_toyning+1) ))

Ingeniørtøyning     Sann tøyning
   0.00010            0.00010
   0.00100            0.00100
   0.01000            0.00995
   0.10000            0.09531
   1.00000            0.69315

Tøyning ved elastisk grense for eksempelvis vanlig konstruksjonsstål er rundt 0.002, som betyr at det er absolutt ingen signifikant forskjell mellom ingeniørtøyning og sann tøyning i det elastiske området i dette tilfellet.

Grafiske eksempler for ingeniørtøyning i x-y planet:

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline 

def illustrerToyning(ex,ey,exy,skalering):
    x=numpy.array([-0.5,0.5,0.5,-0.5,-0.5])
    y=numpy.array([-0.5,-0.5,0.5,0.5,-0.5])
    ux=(ex*x+0.5*exy*y)*skalering
    uy=(ey*y+0.5*exy*x)*skalering
    xd=x+ux
    yd=y+uy
    fig,ax=plt.subplots(figsize=(4,4))
    ax.set_xlim(-1,1)
    ax.set_ylim(-1,1)
    ax.set_axis_off()
    ax.set_title('Skaleringsfaktor='+str(skalering))
    text=r'$\varepsilon_x=$'+str(ex)+'\n'+r'$\varepsilon_y=$'+str(ey)+'\n'+r'$\gamma_{xy}=$'+str(exy)
    ax.text(0,0,text, ha='center',va='center')
    ax.plot(x,y,'--',color='lightgreen')
    ax.plot(xd,yd,'-',color='darkgreen')
    ax.arrow(-0.9, -0.9, 1.0, 0.0, head_width=0.05, head_length=0.05, fc='black', ec='black')
    ax.arrow(-0.9, -0.9, 0.0, 1.0, head_width=0.05, head_length=0.05, fc='black', ec='black')
    ax.text(0.2,-0.9,'x')
    ax.text(-0.9,0.2,'y')

illustrerToyning( ex=0.005, ey=-0.002, exy=0, skalering=100)

illustrerToyning( ex=0.0, ey=0.0, exy=0.01, skalering=100)

illustrerToyning( ex=0.003, ey=0.0, exy=0.003, skalering=100)

Disclaimer:This site is designed for educational purposes only. There are most likely errors, mistakes, typos, and poorly crafted statements that are not detected yet... www.ntnu.edu/employees/nils.p.vedvik