TMM4100 Materialteknikk

Hjem Atomstruktur Krystallstruktur Polymerstruktur Imperfeksjoner Diffusjon Mekaniske egenskaper Styrkemekanismer Svikt Fasetransformasjon Metaller Keramer Polymerer Kompositter Termiske egenskaper Elektriske egenskaper Korrosjon Materialvalg Diverse tema Case-studier
Introduksjon Spenning Tøyning Hookes lov Plastisitet Energi Materialvariabilitet

Materialvariabilitet

Hva er greia: Egenskaper til presumptivt identiske materialer varierer. Alltid(!). I noen tilfeller er det ikke signifikant, i andre tilfeller er riktig så kritisk. I mekanisk design må vi kjenne til usikkerheten til materialparameter, og vi må vite hvordan verdiene skal tolkes.

Det kan være stor forskjell på maksverdi, minverdi, middelverdi og, det vi skal se spessielt på her: karakteristisk verdi gjennom følgende eksempel:

Strekk-styrken (TS) for et material er målt for 10 stk. antatt identiske prøvestykker. Resulter er gitt i listen TS:

In [1]:
TS = [143., 154., 147., 161., 135., 138., 155., 158., 161., 135.]

Noen statistiske parameter:

In [2]:
import numpy as np

print('Min:',np.amin(TS))
print('Max:',np.amax(TS))
print('Range:',np.ptp(TS))
print('Mean:',np.mean(TS))
print('Stdev:',np.std(TS,ddof=1))

Min: 135.0
Max: 161.0
Range: 26.0
Mean: 148.7
Stdev: 10.446158251827425

NB: Standardaviket beregnet ved np.std(TS,ddof=1) tilsvarer

\begin{equation} s = \Bigg[ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}{n-1} \Bigg]^{1/2} \end{equation}

Så, hva er egentlig styrken til materialet ???

Om vi antar at styrken er normalfordelt, OG at vi har et statistisk tilstrekkelig antall tester, ser dette sånn ut:

In [3]:
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
x=np.linspace(100,200,100)
y=norm.pdf(x,np.mean(TS),np.std(TS,ddof=1))
fig,ax = plt.subplots(figsize=(6,4))
ax.plot(x,y,color='red')
ax.set_xlabel('Strength')
ax.set_ylabel('Frequency')
ax.set_title('Strength distribution')
ax.grid(True)
plt.show()

Altså, det er en signifikant sannsynlighet for at styrken for en tilfeldig prøve er lavere enn den laveste verdien som er målt (135). For eksempel, vil 2.27% av tilfellene ha styrke lavere enn gjennomsnittet minus 2 standardavik, som altså blir verdien:

In [4]:
np.mean(TS)-2*np.std(TS,ddof=1)
Out[4]:
127.80768349634513

De fleste standarder baserer design-styrken på en karakteristisk verdi som er lik gjennomsnittsverdi (altså 'mean') fratrukket 'noen' standardavik, der 'noen' standardavik er avhengig av hvor mange paralelle tester som er utført....

Eksempel: For 10 testresultat har vi et bra statistisk grunnlag, men med fortsatt betydelig usikkerhet knyttet til et begrenset utvalg. En typisk standard vil derfor kreve noe sånt som 3 standardavik under gjennomsnittsverdien:

In [5]:
np.mean(TS)-3*np.std(TS,ddof=1)
Out[5]:
117.36152524451771

Hva om den siste testen gave eksepsjonelt høy styrke? Bytter ut 135 med 200:

In [6]:
TS = [143., 154., 147., 161., 135., 138., 155., 158., 161., 200.]

Nå blir det jo selvsagt et høyere gjennomsnitt:

In [7]:
np.mean(TS)
Out[7]:
155.2

...men samtidig øker standardavviket nokså brutalt:

In [8]:
np.std(TS,ddof=1)
Out[8]:
18.26836975029062

...som dermed fører til en skikkelig dropp i karakteristisk verdi:

In [9]:
np.mean(TS)-3*np.std(TS,ddof=1)
Out[9]:
100.39489074912812

Konklusjon

Høy grad av variabilitet betyr at design-styrken (som altså er en verdi med tilstrekkelig liten sannsynlighet for svikt) blir langt lavere enn gjennomsnittsverdien.

Se praktisk anvendelse av dette i case-studiet Materialvariabilitet i tre

Disclaimer:This site is designed for educational purposes only. There are most likely errors, mistakes, typos, and poorly crafted statements that are not detected yet... www.ntnu.edu/employees/nils.p.vedvik

Copyright 2023, All rights reserved