TMM4100 Materialteknikk

Introduksjon matek.py Formelsamling Eulers metode Flytkriterie Materialhomogenisering Laminatteori

Flytkriterie¶

For en strekktest utsatt for en kraft $F_x$ slik at kun $\sigma_x \ne 0$, vil det oppstå plastisk deformasjon, eller flyt, når $\sigma_x \ge \sigma_{yield}$.

Men hva med en spenningstilstand hvor flere spenningskomponenter er ulik null?

Det finnes flere ulike flytkriterier, men vi skal kun se på det mest brukte kriteriet for metaller: von Mises flytkriterie som beskriver at von Mises spenning $\sigma_v$ for en kombinasjon av spenninger i et koordinatsystem x-y-z er

\begin{equation} \sigma _{v}=\sqrt{\frac {1}{2}\big((\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+(\sigma_{y}-\sigma_{z})^{2}+(\sigma_{z}-\sigma_{x})^{2}+6(\tau_{xy}^{2}+\tau_{yz}^{2}+\tau_{xz}^{2})\big)} \tag{1} \end{equation}

Flyt oppstår når

\begin{equation} \sigma_v \ge \sigma_{yield} \tag{2} \end{equation}

hvor $\sigma_{yield}$ er flytestyrken som vi kjenner fra en strekktest.

Numeriske eksempler:

s_yield = 200

sx, sy, sz, txy, tyz, txz = 200, 100, 0, 0, 0, 0
s_mises = ( 0.5*( (sx-sy)**2 + (sy-sz)**2 + (sz-sx)**2 + 6*(txy**2 + tyz**2 + txz**2) )  )**0.5
print('Spenningstilstand: sx={}, sy={}, sz={}, txy={}, sx={}, sx={}'.format(sx, sy, sz, txy, tyz, txz))
if s_mises >= s_yield:
    text = 'så det vil oppstå plastisk deformasjon.'
else:
    text = 'og dermed vil det IKKE oppstå plastisk deformasjon.'
print('Mises spenning = {:.1f} {}'.format(s_mises, text))

Spenningstilstand: sx=200, sy=100, sz=0, txy=0, sx=0, sx=0
Mises spenning = 173.2 og dermed vil det IKKE oppstå plastisk deformasjon.

s_yield = 200

sx, sy, sz, txy, tyz, txz = 500, 500, 500, 0, 0, 0
s_mises = ( 0.5*( (sx-sy)**2 + (sy-sz)**2 + (sz-sx)**2 + 6*(txy**2 + tyz**2 + txz**2) )  )**0.5
print('Spenningstilstand: sx={}, sy={}, sz={}, txy={}, sx={}, sx={}'.format(sx, sy, sz, txy, tyz, txz))
if s_mises >= s_yield:
    text = 'så det vil oppstå plastisk deformasjon.'
else:
    text = 'og dermed vil det IKKE oppstå plastisk deformasjon.'
print('Mises spenning = {:.1f} {}'.format(s_mises, text))

Spenningstilstand: sx=500, sy=500, sz=500, txy=0, sx=0, sx=0
Mises spenning = 0.0 og dermed vil det IKKE oppstå plastisk deformasjon.

s_yield = 200

sx, sy, sz, txy, tyz, txz = 0, 0, 0, 150, 0, 0
s_mises = ( 0.5*( (sx-sy)**2 + (sy-sz)**2 + (sz-sx)**2 + 6*(txy**2 + tyz**2 + txz**2) )  )**0.5
print('Spenningstilstand: sx={}, sy={}, sz={}, txy={}, sx={}, sx={}'.format(sx, sy, sz, txy, tyz, txz))
if s_mises >= s_yield:
    text = 'så det vil oppstå plastisk deformasjon.'
else:
    text = 'og dermed vil det IKKE oppstå plastisk deformasjon.'
print('Mises spenning = {:.1f} {}'.format(s_mises, text))

Spenningstilstand: sx=0, sy=0, sz=0, txy=150, sx=0, sx=0
Mises spenning = 259.8 så det vil oppstå plastisk deformasjon.

Se anvendelse i case-studiet:

Dimensjonering av en trykktank

Disclaimer:This site is designed for educational purposes only. There are most likely errors, mistakes, typos, and poorly crafted statements that are not detected yet... www.ntnu.edu/employees/nils.p.vedvik