TMM4100 Materialteknikk
Formelsamling¶
Her finner du tilnærmet komplett samling av konstanter og ligninger brukt i emnet, sortert på tema og/eller kronologi.
Konstanter¶
Avogadros tall: $N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \text{ /mol}$
Boltzmanns konstant: $k = 1.380649\cdot 10^{-23} \text{ J/K}$
Gasskonstanten: $R = N_A k$
Elementæreladning: $ e=1.602 \cdot 10^{-19}\text{ C}$
Faraday konstant: $F=96500 \text{ C/mol}$
Generelle sammenhenger¶
Sammenheng mellom gasskonstanten $R$ og Boltzmanns konstant $k$:
\begin{equation} R=N_A k \tag{A.1} \end{equation}Sammenheng mellom elektronvolt og Joule fra elementærladning $e$:
\begin{equation} 1 \text{ eV} = 1 [\text{V}] \cdot e = 1.602 \cdot 10^{-19}\text{ VC} = 1.602 \cdot 10^{-19}\text{ J} \tag{A.2} \end{equation}Sammeheng mellom masse $m$ [g], antall atomer $n$ og atomvekt $A$ [g/mol]:
\begin{equation} m = \frac{nA}{N_A} \tag{A.3} \end{equation}Tetthet $\rho$ fra masse $m$ og volum $V$:
\begin{equation} \rho = \frac{m}{V} \tag{A.4} \end{equation}Volum $V$ og overflateareal $A$ av en kule med radius $R$:
\begin{equation} V = \frac{4}{3} \pi R^3, \quad A = 4 \pi R^2 \tag{A.5} \end{equation}Vinkel mellom to vektorer:
\begin{equation} \text{cos}(\theta) = \frac{\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2}{|\mathbf{v}_1||\mathbf{v}_2|} \tag{A.6} \end{equation}Atomstruktur og atombinding¶
Energipotensial $E$ (Mie) hvor $A$, $B$, $m$ og $n$ er empirisk bestemte konstanter:
\begin{equation} E = -\frac{A}{r^m} + \frac{B}{r^n} \tag{B.1} \end{equation}Bindigskraft:
\begin{equation} F = m\frac{A}{r^{m+1}} - n\frac{B}{r^{n+1}} \tag{B.2} \end{equation}Krystallstruktur¶
Dimensjoner til BCC enhetscelle ved gitt atomradius $R$:
\begin{equation} a=\frac{4R}{\sqrt{3}} \tag{C.1} \end{equation}Dimensjoner til FCC enhetscelle ved gitt atomradius $R$:
\begin{equation} a=2\sqrt{2}R \tag{C.2} \end{equation}Arealet av et heksagon med lengde $a$ på sidekanter:
\begin{equation} A=\frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2 \tag{C.3} \end{equation}Høyden $c$ til en tettpakket HCP enhetscelle der $a=2R$:
\begin{equation} c = 2 \sqrt{ \frac{2}{3} } a \tag{C.4} \end{equation}Atompakkefaktor der $n$ er antall hele atom innenfor enhetscellen og $V_c$ er volumet av cellen:
\begin{equation} APF = \frac{n4\pi R^3}{3V_c} \tag{C.5} \end{equation}Polymerstruktur¶
Molekylvekt [g/mol] hvor $n$ er polymeriseringsgrad og $m$ er vekt [g/mol] av repeterende enhet:
\begin{equation} M = n m \tag{D.1} \end{equation}Molekylvekt [g] hvor $n$ er polymeriseringsgrad og $m$ er vekt [g/mol] av repeterende enhet:
\begin{equation} M = \frac{n m}{N_A} \tag{D.2} \end{equation}Gjennomsnittlig molekylvekt basert på antall, hvor $M_i$ er molekylvekt i fraksjon $i$ og $X_i$ er antall molekyl i fraksjon $i$:
\begin{equation} \overline{M}_n = \sum x_i M_i \quad \text{hvor} \quad x_i = \frac{X_i}{\sum X_i} \tag{D.3} \end{equation}Gjennomsnittlig molekylvekt basert på vekt, hvor $M_i$ er molekylvekt i fraksjon $i$ og $W_i$ er vekt av molekyl i fraksjon $i$:
\begin{equation} \overline{M}_w = \sum w_i M_i \quad \text{hvor} \quad x_i = \frac{W_i}{\sum W_i} \tag{D.4} \end{equation}Krystallinitetsgrad er definert som massen av krystallinsk materiale dividert på total masse:
\begin{equation} c = \frac{m_c}{m} \tag{D.5} \end{equation}Tetthet for del-krystallinsk materiale gitt tetthet for krystallinsk og amorf materiale:
\begin{equation} \frac{1}{\rho} = \frac{c}{\rho_c}+\frac{1-c}{\rho_a} \tag{D.6} \end{equation}Imperfeksjoner¶
Antall krystallvakanser $N_v$ per posisjoner $N$ der $Q_v$ er aktiveringsenergi:
\begin{equation} N_v = N \text{exp}\big( -\frac{Q_v}{kT} \big) \tag{E.1} \end{equation}Fra atomandeler $C_i'$ til vektandeler $C_i$ for en blanding av to komponenter:
\begin{equation} C_1 = \frac{C_1' A_1}{C_1' A_1 + C_2' A_2}, \quad C_2 = \frac{C_2' A_2}{C_1' A_1 + C_2' A_2} \tag{E.2} \end{equation}Fra vektandeler $C_i$ til atomandeler $C_i'$ for en blanding av to komponenter:
\begin{equation} C_1' = \frac{C_1 A_2}{C_1 A_2 + C_2 A_1}, \quad C_2' = \frac{C_2 A_1}{C_1 A_2 + C_2 A_1} \tag{E.3} \end{equation}Diffusjon¶
Definisjon av diffusjonsfluks $J$ der $M$ er masse, $A$ er areal og $t$ er tid:
\begin{equation} J = \frac{M}{At} \tag{F.1} \end{equation}Ficks 1. lov:
\begin{equation} J=-D\frac{dC}{dx} \tag{F.2} \end{equation}Ficks 2. lov:
\begin{equation} \frac{\partial C}{\partial t}= D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \tag{F.3} \end{equation}Analyttisk løsning for semi-uendelig plate (se detaljer her):
\begin{equation} \frac{C_x - C_0}{C_s - C_0}=1-\text{erf}\Big(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\Big) \tag{F.4} \end{equation}Grafisk representasjon av erf(z):
Diffusjonskoeffisientens temperaturavhengighet:
\begin{equation} D = D_0\text{exp}\big( -\frac{Q_d}{RT} \big) \tag{F.5} \end{equation}Mekaniske egenskaper¶
Nominell normalspenning der $A_0$ er udeformert areal:
\begin{equation} \sigma = \frac{F_N}{A_0} \tag{E.1} \end{equation}Nominell skjærspenning der $A_0$ er udeformert areal:
\begin{equation} \tau = \frac{F_S}{A_0} \tag{E.2} \end{equation}Sann spenning betrakter deformert areal $A$ i stede for udeformert $A_0$
Rotasjon av spenninger for en plan spenningstilstand der koordinatsystemet 1-2-3 er rotert $\theta$ om z-aksen, og $c=\text{cos}(\theta)$ og $s=\text{sin}(\theta)$
\begin{equation} \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \tau_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c^2 & s^2 & 2cs \\ s^2 & c^2 & -2cs \\ -cs & cs & c^2-s^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{bmatrix} \tag{E.3} \end{equation}Maks skjærspenning
\begin{equation} \tau_{maks}=\frac{1}{2}(\sigma_{maks}-\sigma_{min}) \tag{E.4} \end{equation}Von Mises spenning (flytkriterie)
\begin{equation} \sigma _{v}=\sqrt{\frac {1}{2}\big((\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+(\sigma_{y}-\sigma_{z})^{2}+(\sigma_{z}-\sigma_{x})^{2}+6(\tau_{xy}^{2}+\tau_{yz}^{2}+\tau_{xz}^{2})\big)} \tag{E.5} \end{equation}Definisjon av ingeniørtøyninger fra forskyvinger
\begin{equation} \begin{aligned} &\varepsilon_x=\frac{du}{dx} && \varepsilon_y=\frac{dv}{dy} && \varepsilon_z=\frac{dw}{dz} \\ &\gamma_{xy}=\frac{du}{dy}+\frac{dv}{dx} && \gamma_{xz}=\frac{du}{dz}+\frac{dw}{dx} && \gamma_{yz}=\frac{dv}{dz}+\frac{dw}{dy} \end{aligned} \tag{E.6} \end{equation}Alternativ formulering av normaltøyning i en dimensjon
\begin{equation} \varepsilon_x=\frac{du}{dx} \Rightarrow \varepsilon = \frac{X-X_0}{X_0} = \frac{L-L_0}{L_0} = \frac{dL}{L_0} \tag{E.7} \end{equation}Sann, eller logaritmisk normaltøyning:
\begin{equation} \varepsilon_{sann} = \text{ln}\bigg(\frac{L}{L_0}\bigg) \tag{E.8} \end{equation}Sammenheng mellom sann spenning og nominell spenning ved antagelse bevaring av volum:
\begin{equation} \sigma_{sann} = \sigma(1-\varepsilon) \tag{E.9} \end{equation}Sammenheng mellom sann tøyning og nominell tøyning:
\begin{equation} \varepsilon_{sann} = \text{ln}(1+\varepsilon) \tag{E.10} \end{equation}Hookes lov i 3D for et isotropt materiale:
\begin{equation} \begin{bmatrix} \varepsilon_x \\ \varepsilon_y \\ \varepsilon_z \\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{xz} \\ \gamma_{yz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/E & -\nu/E & -\nu/E & 0 & 0 & 0 \\ -\nu/E & 1/E & -\nu/E & 0 & 0 & 0 \\ -\nu/E & -\nu/E & 1/E & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/G & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/G & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\ \tau_{xy} \\ \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \end{bmatrix} \tag{E.11} \end{equation}Sammenheng mellom $E$, $G$ og $\nu$ for et isotropt materiale:
\begin{equation} G = \frac{E}{2(1+\nu)} \tag{E.12} \end{equation}Kompresjonsmodul:
\begin{equation} K=\frac{E}{3(1-2\nu)} \tag{E.13} \end{equation}Tøyningsenergi i en dimensjon, generell relasjon for en deformert forskyving $x$:
\begin{equation} U = \int^x_0 Fdx \tag{E.14} \end{equation}Tøyningsenergitetthet, generelt uttrykk i 3D:
\begin{equation} U_s = \frac{1}{2}\sigma_x \varepsilon_x + \frac{1}{2}\sigma_y \varepsilon_y + \frac{1}{2}\sigma_z \varepsilon_z + \frac{1}{2}\tau_{xy} \gamma_{xy} + \frac{1}{2}\tau_{xz} \gamma_{xz} + \frac{1}{2}\tau_{yz} \gamma_{yz} \tag{E.15} \end{equation}Alternative uttrykk for tøyningsenergitetthet i en dimensjon for et lineært elastisk materiale
\begin{equation} U_s = \frac{1}{2}\sigma \varepsilon = \frac{1}{2} E \varepsilon^2 = \frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{E} \tag{E.16} \end{equation}Resiliens for et lineært elastisk materiale der $\sigma_y$ er materialets flytestyrke:
\begin{equation} U_r = \frac{1}{2}\frac{\sigma^2_y}{E} \tag{E.17} \end{equation}Termisk tøyning:
\begin{equation} \varepsilon_{term}=\alpha \Delta T \tag{E.18} \end{equation}Standardavvik:
\begin{equation} s = \Bigg[ \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2}{n-1} \Bigg]^{1/2} \tag{E.19} \end{equation}Fra statikk og bjelketeori¶
Andre arealmoment:
\begin{equation} I_y = \int z^2 dA \tag{F.1} \end{equation}Rektangulært tverrsnitt:
\begin{equation} I = \frac{bh^3}{12} \tag{F.2a} \end{equation}Sirkulært tverrsnitt:
\begin{equation} I = \frac{\pi R^4}{4} \tag{F.2b} \end{equation}Sammenheng mellom moment og krumning:
\begin{equation} M = EI \frac{d^2 w}{dx^2} \quad \text{eller} \quad M = EI \kappa \tag{F.3} \end{equation}Bøyespenning i en avstand $z$ fra nøytralaksen:
\begin{equation} \sigma = z \frac{M}{I} \tag{F.4} \end{equation}Dislokasjoner og styrkemekanismer¶
Utløst skjærspenning hvor $\phi$ er vinkel mellom spenning og glideplan, og $\lambda$ er vinkel mellom spenning og glideretning:
\begin{equation} \tau_R = \sigma \cdot \text{cos}(\phi) \text{cos}(\lambda) \tag{G.1} \end{equation}Hall-Petch: sammenheng mellom kornstørrelse $d$ og flytestyrke $\sigma_y$ hvor $\sigma_0$ og $k_y$ er empiriske parameter:
\begin{equation} \sigma_y = \sigma_0 + k_y \frac{1}{\sqrt{d}} \tag{G.2} \end{equation}Svikt¶
Spenningsintensitetsfaktor, der $Y$ er en geometriparameter og $a$ er lengden av en overflatesprekk eller halve lengden av en indre sprekk:
\begin{equation} K_{I} = Y \sigma \sqrt{\pi a} \tag{H.1} \end{equation}Kriterie for sprekkforplantning:
\begin{equation} K_{I} \ge K_{IC} \tag{H.2} \end{equation}Total tøyningsenergi i en uendelig plate med indre sprekk med lengde $2a$
\begin{equation} U = \frac{\sigma^2}{2E}V - \frac{\sigma^2}{2E}b\pi a^2 \tag{H.3} \end{equation}Sammenheng mellom bruddseighet $K_{Ic}$ og bruddenergi $G_{Ic}$
\begin{equation} K_{IC} = \sqrt{EG_{IC}} \tag{H.4} \end{equation}Syklisk utmatting: definsjon av middelverdi:
\begin{equation} \sigma_m = \frac{\sigma_{max} + \sigma_{min}}{2} \tag{H.5} \end{equation}Syklisk utmatting: definisjon av amplitude:
\begin{equation} \sigma_a = \frac{\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2} \tag{H.6} \end{equation}Syklisk utmatting: definisjon av R-verdi:
\begin{equation} R = \frac{\sigma_{min}}{\sigma_{max}} \tag{H.7} \end{equation}Sammenhenger mellom periode $T$, frekvens $f$ og vinkelfrekvens $\omega$:
\begin{equation} \omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} \tag{H.8} \end{equation}S-N kurve/sammenheng gitt ved Basquin lov der A og B er empirisk bestemte konstanter:
\begin{equation} S = A \cdot N^{-B} \tag{H.9} \end{equation}Fra ligning (H.9):
\begin{equation} \log S = \log A -B \log N \tag{H.10} \end{equation}Polymerer¶
Definisjon av sigekomplians:
\begin{equation} D(t) = \frac{\varepsilon(t)}{\sigma_0} \tag{L.1} \end{equation}Definisjon av relaksasjonsmodul:
\begin{equation} E(t) = \frac{\sigma(t)}{\varepsilon_0} \tag{L.2} \end{equation}Sigekomplians for 3-parameter modellen:
\begin{equation} D(t) = D_{\infty} + (D_0-D_{\infty})\exp \big(-\frac{t}{\tau_s} \big) \tag{L.3} \end{equation}Relaksasjonsmodul for 3-parameter modellen:
\begin{equation} E(t) = E_{\infty} + (E_0 - E_{\infty}) \exp \bigg( -\frac{t}{\tau_r} \bigg) \tag{L.4} \end{equation}Ideell elastomer (Neo-Hookean), modell for arbeid ut ført på et volum:
\begin{equation} W = \frac{VG}{2}\big[ \lambda_x^2 + \lambda_y^2 + \lambda_z^2 -3\big] \tag{L.5} \end{equation}Forlengelsesratioer:
\begin{equation} \lambda_x = \frac{X}{X_0}, \quad \lambda_y = \frac{Y}{Y_0}, \quad \lambda_z = \frac{Z}{Z_0} \tag{L.6} \end{equation}Fra bevaring av volum (inkompressibilitet):
\begin{equation} \lambda_x\lambda_y\lambda_z=1 \tag{L.7} \end{equation}Utledet fra (L.5) for 1-dimensjonal spenningtilstand:
\begin{equation} \sigma_x = G\big[ \lambda_x - \frac{1}{\lambda_x^2}\big] \tag{L.8} \end{equation}Kompositter¶
Volumfraksjon fra masser og tettheter:
\begin{equation} V_f = \frac{v_f}{v_f + v_m} = \frac{m_f \cdot \rho_m}{m_f \cdot \rho_m+m_m \cdot \rho_f} \tag{M.1} \end{equation}Blandingsregel for E-modul i fiberretning:
\begin{equation} E_L = V_f E_f + (1-V_f) E_m \tag{M.2} \end{equation}Blandingsregel for E-modul på tvers av fiberretning:
\begin{equation} \frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{1-V_f}{E_m} \tag{M.3} \end{equation}Modifisert modul for matrise i ligning (M.3):
\begin{equation} E_m' = \frac{E_m}{1-\nu_m^2} \tag{M.4} \end{equation}Termiske egenskaper¶
Spesifikk varmekapasitet:
\begin{equation} C_p = \frac{\Delta Q}{\Delta T} \tag{N.1} \end{equation}Termisk konduktivitet:
\begin{equation} q = -k \frac{\Delta T}{\Delta X} \tag{N.2} \end{equation}Termisk ekspansjon:
\begin{equation} \varepsilon_{term} = \alpha \Delta T \tag{N.3} \end{equation}Elektriske egenskaper¶
Ohms lov:
\begin{equation} U = RI \tag{O.1} \end{equation}Resistans fra resistivitet:
\begin{equation} R = r_e \frac{L}{A} \tag{O.2} \end{equation}Korrosjon¶
Nernst ligning:
\begin{equation} \Delta V = (V_2^0 - V_1^0)-\frac{RT}{nF}\ln\frac{ [M_1^{n+}]}{[M_2^{n+}]} \tag{P.1} \end{equation}Nernst ligning ved romtemperatur:
\begin{equation} \Delta V = (V_2^0 - V_1^0)-\frac{0.0592}{n}\log\frac{ [M_1^{n+}]}{[M_2^{n+}]} \tag{P.2} \end{equation}Korrosjonsrater:
\begin{equation} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{I_{corr} M}{z F \rho A} \tag{P.3} \end{equation}\begin{equation} CPR = \frac{KW}{\rho A t} \tag{P.4} \end{equation}Sammenheng mellom korrosjonsrate og strømtetthet:
\begin{equation} CPR = \frac{i}{nF} \tag{P.5} \end{equation}For aktiveringspolarisasjon:
\begin{equation} \eta_a = \pm \beta \log \frac{i}{i_0} \tag{P.6} \end{equation}For konsentrasjonspolarisasjon:
\begin{equation} \eta_c = \frac{2.3 RT}{nF} log \big(1-\frac{i}{i_L}\big) \tag{P.7} \end{equation}