TMM4100 Materialteknikk
Materialhomogenisering¶
Det fleste materialer er, på en eller annen måte, blanding av ulike material eller faser. Det er derfor nyttig å ha teorier og modeller for estimering av egenskapene til et slikt sammensatt material basert på kjennskap til de ulike bestanddelene. Dette er prinsippet for homogenisering av materialegenskaper. Et typisk eksempel er mikromekaniske modeller for effektive elastiske konstanter til komposittmaterialer.
Teoretisk metoder for materialhomogenisering kan fort bli avanserte greier, men her i TMM4100 skal vi kun se på to enkle prinsipp: seriekoblet system og paralellkoblet system. Siden disse modellen er enkle, vil de ikke alltid kunne representere virkeligheten på en nøyaktig måte. De er likevel nyttige som estimat, og kan gjerne gi øvre og nedre grense for verdiene vi er ute etter. Det er da tross alt bedre enn ingen ting...
Vi begynner med to eksempel, system av fjærer og system av elektriske resistorer. Dette er altså er kombinasjon av komponenter og ikke kombinasjon av faser i materialer, og dermed egentlig ikke materialhomogenisering. Disse ekemplene gir imidlertid en enkel og lettfattet introduksjon til prinsipp for kombinasjoner av element i serie og paralell.
Effektiv fjærstivhet¶
\begin{equation} F = k \cdot \Delta x \tag{1} \end{equation}
I en seriekobling går den samme kraften $F$ gjennom begge fjærene, mens total forlengelse for systemet er summen av bidrag fra de to elementene: $\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2$ slik at
$$ \Delta x_a = \frac{1}{k_a}F \quad \text{og} \quad \Delta x_b = \frac{1}{k_b}F$$$$ \Delta x = \Delta x_a + \Delta x_b = \bigg( \frac{1}{k_a} + \frac{1}{k_b} \bigg)F $$Dermed blir den effektive fjærstivheten $k$ gitt av
\begin{equation} \frac{1}{k} = \frac{1}{k_a} + \frac{1}{k_b} \tag{2} \end{equation}eller
$$ k = \frac{k_a k_b}{k_a + k_b} $$I en paralellkobling får begge fjærene samme forlengelse, $\Delta x_a = \Delta x_b = \Delta x$ mens kraften er summen av krefter i de to elementene:
$$ F = F_a + F_b = k_a \Delta x + k_b \Delta x = (k_a + k_b) \Delta x $$og dermed blir effektiv fjærstivhet
\begin{equation} k = k_a + k_b \tag{3} \end{equation}Eksempel: Demonstrerer at når $k_a << k_b \Rightarrow k \rightarrow k_a $ ved seriekobling mens $k_a << k_b \Rightarrow k \rightarrow k_b $ ved paralellkobling:
ka, kb =1, 100
k_serie = 1/(1/ka+1/kb)
k_paral = ka+kb
print(k_serie, k_paral)
Effektiv elektrisk konduktans / resistans¶
Dersom vi skriver Ohms lov med konduktansen $G$ på følgende form
\begin{equation} I = \frac{1}{R}U = GU \tag{4} \end{equation}vil seriekobling og paralellkobling av resistorer med gitt konduktivitet i en elektrisk krets være analogt til systmer med fjærer:
Nå tilsvarer strømmen $I$ kraften $F$ mens potensialet (elektrisk spenning ) $U$ tilsvarer forlengelse $\Delta x$.
Dermed blir effektiv konduktanse $G$ og effektiv resistans $R$ ved seriekobling lik
\begin{equation} \frac{1}{G}=\frac{1}{G_a}+\frac{1}{G_b} \Rightarrow R = R_a + R_b \tag{5} \end{equation}mens paralellkobling gir
\begin{equation} G = G_a + G_b \Rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b} \tag{6} \end{equation}Effektiv elastisk modul¶
Ved seriekobling av to materialer med moduler $E_a$ og $E_b$ blir total tøyning:
\begin{equation} \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{\Delta L_a + \Delta L_b}{L_a + L_b} \tag{7} \end{equation}Forlengelse for hvert element er
$$\Delta L_a = \varepsilon_1 L_a \quad \text{og} \quad \Delta L_b = \varepsilon_b L_b $$slik at (7) blir
$$\varepsilon = \frac{\varepsilon_1 L_a + \varepsilon_b L_b}{L_a + L_b}$$
Når tverrsnittsarealet $A$ er identiske for de to materialene eller fasene, blir
$$\frac{L_a}{L_a+L_b} = V_a \quad \text{og} \quad \frac{L_b}{L_a+L_b} = V_b$$der $V_a$ og $V_b$ er volumfraksjoner slik at $V_b = 1-V_a$. Dermed har vi at
\begin{equation} \varepsilon = V_a \varepsilon_a + (1-V_a) \varepsilon_b \tag{8} \end{equation}Siden tverrsnittsarealet $A$ er like for de to delene, blir spenningen også identisk. Den effektive E-modulen kan vi dermed finne ved
$$ \frac{\varepsilon}{\sigma} = \frac{ (V_a \varepsilon_a + (1-V_a) \varepsilon_b) }{\sigma} = \frac{V_a}{E_a} + \frac{1-V_a}{E_b} = \frac{1}{E} $$og dermed
\begin{equation} \frac{1}{E} = \frac{V_a}{E_a} + \frac{1-V_a}{E_b} \tag{9} \end{equation}eller
$$ \frac{E_a E_b}{V_a E_b + (1-V_a)E_a} $$Ved paralellkobling blir tøyningen lik for de to delene, mens total kraft er summen av krefter
$$ F = F_a + F_b = A_a \sigma_a + A_b \sigma_b \Rightarrow $$$$ \sigma = \frac{F}{A_a + A_b} = \frac{A_a \cdot \sigma_a}{A_a + A_b} + \frac{A_b \sigma_b}{A_a+A_b} = V_a \sigma_a + (1-V_a) \sigma_2$$Dermed:
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{V_a \sigma_a + (1-V_a) \sigma_b}{\varepsilon}$$og når $\varepsilon_a = \varepsilon_b = \varepsilon$ blir dette
\begin{equation} E = V_a E_a + (1-V_a) E_b \tag{10} \end{equation}Legg merke til at (9) og (10) er varianter av (2) og (3) vektet for volumfraksjon.
Eksempel:
Ea = 100
Eb = 10
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Va = np.linspace(0,1)
E_serie = 1/(Va/Ea + (1-Va)/Eb)
E_paral = Va*Ea + (1-Va)*Eb
plt.subplots(figsize = (5,3))
plt.plot(Va,E_serie, label='Seriekobling')
plt.plot(Va,E_paral, label='Paralellkobling')
plt.legend()
plt.xlim(0,1)
plt.ylim(0,100)
plt.xlabel('$V_a$')
plt.ylabel('$E$')
plt.show()
Se flere eksempler på siden mikromekaniske modeller for kompositter.
Effektiv diffusjonskoeffisient¶
Antar stasjonær diffusjon:
\begin{equation} J = -D \frac{\Delta C}{\Delta x} \tag{11} \end{equation}Seriekobling
Ved stasjonær diffusjon og seriekobling, må fluks gjennom fase $a$ og $b$ være identisk:
$$J_a = J_b = J$$Endring i konsentrasjon over henholdsvis fase $a$ og $b$ blir dermed
\begin{equation} \Delta C_a = -J \Delta x_a \frac{1}{D_a} \quad \text{og} \quad \Delta C_b = -J \Delta x_a \frac{1}{D_b} \tag{12} \end{equation}Fra ligning (11)
$$ - \frac{J}{D} = \frac{\Delta C}{\Delta x} = \frac{\Delta C_a + \Delta C_b}{\Delta x_a + \Delta x_b}$$som innsatt fra (12) gir
$$ - \frac{J}{D} = -\frac{J \Delta x_a}{\Delta x_a + \Delta x_b} \frac{1}{D_a} - \frac{J \Delta x_b}{\Delta x_a + \Delta x_b} \frac{1}{D_b} \Rightarrow$$$$\frac{1}{D} = \frac{ \Delta x_a}{\Delta x_a + \Delta x_b} \frac{1}{D_a} + \frac{\Delta x_b}{\Delta x_a + \Delta x_b} \frac{1}{D_b}$$Dermed har vi et uttrykk for effektiv diffusjonskoeffisient $D$:
\begin{equation} \frac{1}{D} = \frac{V_a}{D_a} + \frac{(1-V_a)}{D_b} \tag{13} \end{equation}hvor $V_a$ er volumfraksjon av fase $a$.
Paralellkobling
Nå er det hensiktsmessig å først betrakte fluks som mengde (masse) $m$ som går gjennom et areal $A$ per tid $t$:
$$ J = \frac{m}{At} \Rightarrow m = JAt $$Total masse gjennom begge fasene blir dermed
$$ m = m_a + m_b = J_a A_a t + J_b A_b t$$Dermed blir den effektive fluksen $J$
$$ J = \frac{m}{At} = \frac{J_a A_a t}{(A_a+A_b) t} + \frac{J_b A_b t}{(A_a+A_b) t} = V_a J_a + (1-V_a) J_b $$hvor $V_a$ er volumfraksjon av fase $a$.
Vi antar at konsentrasjonsgradientene er identiske:
$$ \frac{\Delta C_a}{\Delta x_a} = \frac{\Delta C_b}{\Delta x_b} = \frac{\Delta C}{\Delta x} $$slik at
$$J_a = D_a \frac{\Delta C}{\Delta x} \quad \text{og} \quad J_b = D_b \frac{\Delta C}{\Delta x}$$Dermed:
$$ J = V_a J_a + (1-V_a) J_b \Rightarrow$$$$-D \frac{\Delta C}{\Delta x} = -V_a D_a \frac{\Delta C}{\Delta x} - (1-V_a) D_b \frac{\Delta C}{\Delta x} $$som gir et uttrykk for den effektive diffusjonskoeffisienten ved paralellkobling:
\begin{equation} D = V_a D_a + (1-V_a) D_b \tag{14} \end{equation}Eksempel: En vegg i en trykktank er en laminert konstruksjon som består vekselvis av aluminiumsplater og nylonplater. Det er tilsammen 20 plater som hver er 1 mm tykke. Hva blir den effektive diffusjonskoeffisienten når diffusjonskoeffisienten til gassen i aluminium er $D_{Al} = 1 \cdot 10^{-10} \text{ m}^2/\text{s}$ og diffusjonskoeffisienten til gassen i nylon er $D_{PA} = 1 \cdot 10^{-8} \text{ m}^2/\text{s}$ ?
Svar: Dette er klart et seriekoblet system, og siden total tykkelse til nylon er lik total tykkelse til aluminium, blir dette veldig enkelt...
D_Al = 1E-10
D_PA = 1E-8
Vf_Al = 0.5
Vf_PA = 1 - Vf_Al
D = 1/(Vf_Al/D_Al + Vf_PA/D_PA)
print(D)
Resultatet viser et generelt prinsipp ved seriekobling: når den ene verdien er mye større enn den andre, vil den effektive verdien bli dominert av den minste koeffisienten, som for dette tilfellet er aluminium.
Sagt på en annen måte som selv en bygg-student forstår: aluminium fungerer som diffusjonssperren i dette systemet...
Dersom diffusjonen går langs lamellene (paralellkobling), blir resultatet at verdien til nylon dominerer den effektive koeffisienten. Nylon blir da liksom motorveien, mens aluminium er en kjærrevei i forhold:
D = Vf_Al*D_Al + Vf_PA*D_PA
print(D)
Effektiv elektrisk resistivitet¶
Se elektrisk resistivitet og bruk prinsipp for serie og paralellkobling.