TMM4100 Materialteknikk
Materialvalg for fjær¶
Funksjon: Lagre elastisk tøyningsenergi.
Geometrisk effektivitet¶
Den prinsipielt mest effektive konfigurasjonen til en fjær utsatt for kun normalspenning i en retning, er en løsning der hele tverrsnittet og hele lengden blir utsatt for en uniform spenningstilstand (a). I dette tilfelle vil hele volumet bli utsatt for maks spenning og tøying, hvor den totale tøyningsenergi for et lineært elastisk materiale er
\begin{equation} U = \frac{1}{2} \frac{\sigma^2}{E} V \tag{1} \end{equation}
Dette vil imidlertid ikke fungere i praksis for annet enn materialer med svært lav stivhet og høy elastisk forlengelse (gummi). Derfor finner vi heller fjærer som er konstruert slik at det er bøying av slanke tværrsnitt med konstant bøyemoment (b) som er hovedmekanismen. Dette er tilfelle for både forlengelse og torsjon av spiralfjærer.
Anta en utkragerbjelke (b) med lengde $L$, bredde $b$ og høyde $h$ som blir utsatt for et konstant bøyemoment $M$ som er påført ved rotasjon av den enden på bjelken.
Rotasjonen ved $x = L$ er
$$ \theta = \frac{ML}{EI}$$og vi kan sette opp sammenhengen mellom last og deformasjon som
$$ M = \frac{EI}{L} \theta$$Energi ved en gitt rotasjon på grunn av momentet blir dermed:
$$ U = \int_0^{\theta} M d\theta = \int_0^{\theta} \frac{EI}{L} \theta d\theta = \frac{1}{2} \frac{EI}{L} \theta^2$$Innsatt for rotasjon fra tidligere uttrykk:
$$ U = \frac{1}{2} \frac{EI}{L} \bigg(\frac{ML}{EI}\bigg)^2 = \frac{M^2 L}{2EI}$$Største bøyespenning er
$$\sigma = \frac{M}{I}z = \frac{M}{I} \frac{h}{2}$$slik at
$$ M = \frac{2 \sigma I}{h} \Rightarrow M^2 = \frac{4 \sigma^2 I^2}{h^2}$$og dermed
$$ U = \frac{M^2 L}{2EI} = \frac{2 \sigma^2 I L}{E h^2} = \frac{2 \sigma^2 b h^3 L}{12 E h^2} = \frac{\sigma^2 b h L}{6 E } $$og altså
\begin{equation} U = \frac{1}{6} \frac{\sigma^2}{E} V \tag{2} \end{equation}For en bladfjær som er konfigurert som en fritt opplagret bjelke (c) med rektangulært tverrsnitt og med en senterlast $F$, blir tøyningsenergien ved maks bøyespenning $\sigma$ lik
\begin{equation} U = \frac{1}{18} \frac{\sigma^2}{E} V \tag{3} \end{equation}Forklaringen på faktoren 1/18 som altså er betydelig mindre enn 1/2, er enkelt og greit at store deler av bjelken blir lite belastet siden den høyeste spenningen kun er på midten av bjelken. Dermed blir dette en langt mindre effektiv løsning når vi kun ser på maks total energi per volum av material.
Maks tøyningsenergi per volum¶
\begin{equation} \max \bigg(\frac{\sigma_y^{2}}{E}\bigg) \tag{4} \end{equation}Hvor $\sigma_y$ er flytestyrke eller anne elastisk grense for materialet.
Fra (4)
$$ \frac{\sigma_y^2}{E} = k \Rightarrow$$$$ 2\log(\sigma_y) - \log(E) = \log(k) \Rightarrow $$$$\log(\sigma_y) = \frac{1}{2}\log(E) + \frac{1}{2} \log(k)$$
Maks tøyningsenergi per masse¶
\begin{equation} \max \bigg(\frac{\sigma_y^{2}}{\rho E}\bigg) \tag{5} \end{equation}Fra (5)
$$ \frac{\sigma_y^2}{\rho E} = k \Rightarrow$$$$ 2\log(\sigma_y) - \log(\rho E) = \log(k) \Rightarrow $$$$\log(\sigma_y) = \frac{1}{2}\log(\rho E) + \frac{1}{2} \log(k)$$