TMM4100 Materialteknikk

Hjem Atomstruktur Krystallstruktur Polymerstruktur Imperfeksjoner Diffusjon Mekaniske egenskaper Styrkemekanismer Svikt Fasetransformasjon Metaller Keramer Polymerer Kompositter Termiske egenskaper Elektriske egenskaper Korrosjon Materialvalg Diverse tema Case-studier

Introduksjon Strekkstag Bjelke Panel Søyle Fjær

Materialvalg for strekkstag¶

Primære funksjon: Overføre/bære en strekk-kraft.

Denne siden inneholder en oppsummering. Detaljer og nyanser finner du på Blackboard og forelesninger

Minst mulig masse, krav til stivhet¶

Krav og spesifikasjoner:

$L = L_0$
$F = F_0$
$\Delta L \le \Delta L_0$

Frie variabler:

Tverrsnittsareal ($A$)
Material

Mål:

Minst mulig masse

Utlede objektfunksjon for optimering:

Tar utgangspunkt i kravet til stivhet,

$$\Delta L \le \Delta L_0 \Rightarrow$$$$\varepsilon L_0 \le \Delta L_0 \Rightarrow$$$$\frac{\sigma}{E} L_0 \le \Delta L_0 \Rightarrow$$$$\frac{F_0}{AE} L_0 \le \Delta L_0 \Rightarrow$$\begin{equation} A \ge \frac{F_0 L_0}{\Delta L_0 E} \tag{1} \end{equation}

Massen er

\begin{equation} m = L_0 A \rho \tag{2} \end{equation}

Med ligning (1) innsatt i (2)

\begin{equation} m \ge \bigg(\frac{F_0 L_0^2}{\Delta L_0}\bigg) \bigg(\frac{\rho}{E}\bigg) \tag{3} \end{equation}

Minst mulig masse betyr

$$ \min(m) \Rightarrow \min \bigg(\frac{\rho}{E}\bigg) \Rightarrow$$\begin{equation} \max \bigg(\frac{E}{\rho}\bigg) \tag{4} \end{equation}

Fra (4):

$$ \frac{E}{\rho} = k \Rightarrow$$$$\log(E) - \log(\rho) = \log(k) \Rightarrow $$$$\log(E) = \log(\rho) + \log(k)$$

Minst mulig masse, krav til styrke¶

Krav og spesifikasjoner:

$L = L_0$
$F = F_0$
$S_f \cdot \sigma \le \sigma_y$

Frie variabler:

Tverrsnittsareal ($A$)
Material

Mål:

Minst mulig masse

Utlede objektfunksjon for optimering:

Tar utgangspunkt i kravet til styrke,

$$S_f \cdot \sigma \le \sigma_y \Rightarrow$$$$S_f\frac{F_0}{A} \le \sigma_y \Rightarrow$$\begin{equation} A \ge S_f\frac{F_0}{\sigma_y} \tag{5} \end{equation}

Massen er

\begin{equation} m = L_0 A \rho \tag{6} \end{equation}

Med ligning (5) innsatt i (6)

\begin{equation} m \ge \bigg(S_f L_0 F_0 \bigg) \bigg(\frac{\rho}{\sigma_y}\bigg) \tag{7} \end{equation}

Minst mulig masse betyr

$$ \min(m) \Rightarrow \min \bigg(\frac{\rho}{\sigma_y}\bigg) \Rightarrow$$\begin{equation} \max \bigg(\frac{\sigma_y}{\rho}\bigg) \tag{8} \end{equation}

Fra (8)

$$ \frac{\sigma_y}{\rho} = k \Rightarrow$$$$\log(\sigma_y) - \log(\rho) = \log(k) \Rightarrow $$$$\log(\sigma_y) = \log(\rho) + \log(k)$$

Minst mulig materialkostnad, krav til stivhet¶

Krav og spesifikasjoner:

$L = L_0$
$F = F_0$
$\Delta L \le \Delta L_0$

Frie variabler:

Tverrsnittsareal ($A$)
Material

Mål:

Minst mulig materialkostnad

Utlede objektfunksjon for optimering:

Tar utgangspunkt i kravet til stivhet,

$$\Delta L \le \Delta L_0 \Rightarrow$$$$\varepsilon L_0 \le \Delta L_0 \Rightarrow$$$$\frac{\sigma}{E} L_0 \le \Delta L_0 \Rightarrow$$$$\frac{F_0}{AE} L_0 \le \Delta L_0 \Rightarrow$$\begin{equation} A \ge \frac{F_0 L_0}{\Delta L_0 E} \tag{9} \end{equation}

Materialkostnad $C$ når $C_m$ er pris per. masse er

\begin{equation} C = m \cdot C_m = L_0 A \rho C_m \tag{10} \end{equation}

Med ligning (9) innsatt i (10)

\begin{equation} C \ge \bigg(\frac{F_0 L_0^2}{\Delta L_0}\bigg) \bigg(\frac{\rho C_m}{E}\bigg) \tag{11} \end{equation}

Minst mulig materialkostnad betyr

$$ \min(C) \Rightarrow \min \bigg(\frac{\rho C_m}{E}\bigg) \Rightarrow$$\begin{equation} \max \bigg(\frac{E}{\rho C_m}\bigg) \tag{12} \end{equation}

Minst mulig materialkostnad, krav til styrke¶

Krav og spesifikasjoner:

$L = L_0$
$F = F_0$
$S_f \cdot \sigma \le \sigma_y$

Frie variabler:

Tverrsnittsareal ($A$)
Material

Mål:

Minst mulig materialkostnad

Utlede objektfunksjon for optimering:

Tar utgangspunkt i kravet til styrke,

$$S_f \cdot \sigma \le \sigma_y \Rightarrow$$$$S_f\frac{F_0}{A} \le \sigma_y \Rightarrow$$\begin{equation} A \ge S_f\frac{F_0}{\sigma_y} \tag{13} \end{equation}

Materialkostnad $C$ når $C_m$ er pris per. masse er

\begin{equation} C = m \cdot C_m = L_0 A \rho C_m \tag{14} \end{equation}

Med ligning (13) innsatt i (14)

\begin{equation} C \ge \bigg(S_f L_0 F_0 \bigg) \bigg(\frac{\rho C_m}{\sigma_y}\bigg) \tag{15} \end{equation}

Minst mulig materialkostnad betyr

$$ \min(C) \Rightarrow \min \bigg(\frac{\rho C_m}{\sigma_y}\bigg) \Rightarrow$$\begin{equation} \max \bigg(\frac{\sigma_y}{\rho C_m}\bigg) \tag{16} \end{equation}

Disclaimer:This site is designed for educational purposes only. There are most likely errors, mistakes, typos, and poorly crafted statements that are not detected yet... www.ntnu.edu/employees/nils.p.vedvik