TMM4100 Materialteknikk

Introduksjon Krystallsystem Punkt Retninger Plan BCC FCC HCP Diamant Grafitt Diverse strukturer

BCC¶

BBC, eller Body Centered Cubic på nynorsk og romsentrert kubisk på vanlig norsk, har ett atom i hvert hjørne samt ett atom i midten av enhetscellen:

posisjoner = [[i,j,k] for i in (0,1) for j in (0,1) for k in (0,1)]
posisjoner.append([0.5,0.5,0.5])
print(posisjoner)

[[0, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 1, 1], [1, 0, 0], [1, 0, 1], [1, 1, 0], [1, 1, 1], [0.5, 0.5, 0.5]]

Langs diagonalen med retning [ 1 1 1 ] fra origo, passerer vi gjennom tilsammen 2 hele atom, som altså er 4 x atomradius. Dermed kan dimensjonen a uttrykkt ved $R$ finnes ved

$$(4R)^2 = 3a^2$$

slik at

\begin{equation} a=\frac{4R}{\sqrt{3}} \tag{1} \end{equation}

Volumet av enhetscellen er selvsagt $V=a^3$ og det er $n=2$ hele atom innenfor enhetscellen (ett helt + 8 x 1/8).

Tettheten til et slikt materiale blir dermed:

$$\rho = \frac{m}{V}=\frac{nA}{VN_A}$$

hvor $A$ er atomvekt (g/mol) og $N_A$ er Avogadros tall.

Eventuelt, løse for volumet:

\begin{equation} V =\frac{nA}{\rho N_A} \tag{2} \end{equation}

Med jern som eksempel, og wikipedia som kilde:

from matek import A, NA

rho = 7874                    # kg/m3 i følge wikipedia
n=2
A_Fe = A['Fe']*0.001          # Atomvekt til jern i kg/mol
V = (n*A_Fe)/(rho*NA)
a = V**(1/3)
R = (3**0.5)*a/4              # fra ligning (1)

print(  'a = {} m = {} pm'.format(a, a*1E12)    )
print(  'R = {} m = {} pm'.format(R, R*1E12))

a = 2.866549043240761e-10 m = 286.6549043240761 pm
R = 1.2412521463202382e-10 m = 124.12521463202381 pm

Sjekker med Wikipedia igjen, og ser at dette gir helt mening:

Hva er forskjellen mellom atomradius, kovalent radius og Van der Waals radius ???

BCC er ikke en stuktur som tilater masksimal tettpakking av atom slik som FCC og HCP. Forholdet mellom volumet av atom og volumet av enhetscellen kalles APF (Atompakkefaktoren), som for BCC er lik:

from math import pi
R=1
a=(4*R)/(3**(1/2))
V_celle=a**3
V_atom = 2*(4/3)*pi*R**3   # volumet av to kuler
APF=V_atom/V_celle
print('APF = {:.4f}'.format(APF))

APF = 0.6802

BCC har 6 krystallografisk ekvivalente plan som er tettpakket:

Hva betyr egentlig krystallografisk ekvivalent og tettpakket???

Normalen til disse (og dermed Miller-indekser) er:

import numpy
pertubasjon = [(i,j,k) for i in (-1,0,1) for j in (-1,0,1) for k in (-1,0,1)]
for p in pertubasjon:
    if abs(numpy.dot(p,p))==2:
        print(p)

(-1, -1, 0)
(-1, 0, -1)
(-1, 0, 1)
(-1, 1, 0)
(0, -1, -1)
(0, -1, 1)
(0, 1, -1)
(0, 1, 1)
(1, -1, 0)
(1, 0, -1)
(1, 0, 1)
(1, 1, 0)

Oppgave: Forklar hvorfor det er 12 normaler, og bestem hvilke normal som tilhører de forskjellige plan i figuren over dersom y-aksen er horisontal og z-aksen er vertikal...

De største hulrom i BCC finner vi i tetrahedrale posisjoner. Dette har stor betydning for interstitiell løsning av karbon i stål og er gjennomgått grundigere i Interstitielle posisjoner.

Disclaimer:This site is designed for educational purposes only. There are most likely errors, mistakes, typos, and poorly crafted statements that are not detected yet... www.ntnu.edu/employees/nils.p.vedvik