TMM4100 Materialteknikk
Krystallsystem¶
Kortversjon: Krystallsystem angir geometrien til enhetscellen til en krystallstruktur, og det finnes 7 unike krystallsystem. For 6 av disse (kubisk, tetragonal, ortorombisk, monoklinsk, trigonal og triklinisk, er geometrien gitt av 6 gitterparameter: lengdedimensjoner $a, b, c$ og vinkler $\alpha, \beta, \gamma$ som illustrert i figuren under.
Merk at vi ikke kommer til å bry oss med systemene trigonal og triklinisk videre i emnet.
Kubisk, tetragonal og ortorombisk system¶
Volumet av enhetscellen til disse er rett frem: $V=a\cdot b\cdot c$ som forenkles til $V=a^3$ for kubisk og $V=a^2c$ for tetragonal.
Monoklinsk¶
For et monoklinsk system er $\beta \ne 90$ og volumet er arealet av et parallellogram multiplisert med lengden $b$:
$$V = a \cdot c \cdot \text{cos}(90-\beta) = a \cdot c \cdot \text{sin}(\beta) $$Det kan være nyttig å observere at det ikke spiller noen rolle om du betrakter vinkelen i parallellogrammet som er større enn 90 eller vinkelen som er mindre enn 90. For eksemple: 90+10=100 eller 90-10=80:
from math import cos, sin, radians
beta=radians(80)
print(sin(beta))
beta=radians(100)
print(sin(beta))
Hexagonal¶
Faglærer synes det er veldig greit å tenke at arealet av en hexagon er lik arealet av 6 likesidede trekanter (for da trenger vi knapt å tenke):
$$6 \cdot \frac{a \cdot a \cdot \text{sin}(60)}{2} = 3 a^2 \text{sin}(60) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2$$Volumet er dermed: $$V = \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2c$$